|
|
The Connection between Continuum Mechanics and Riemannian Geometry
Burýšek, Miroslav ; Pavelka, Michal (vedoucí práce) ; Klika, Václav (oponent)
Zabýváme se systémy kvazilineárních parciálních diferenciálních rovnic hydrodynam- ického typu. Tyto rovnice se nejčastěji objevují v hydrodynamice a mechanice kon- tinua, ale jsou aplikovatelné i jinde. Při studiu těchto systémů se objevuje průnik pois- sonovské a riemannovské geometrie. Poissonova závorka je dána funkcemi, které mají strukturu metrik a Christoffelových symbolů. Jestliže je metrika nedegenerovaná, exis- tence Poissonovy struktury je ekvivalentní existenci ploché metriky a Levi-Civitovy ko- variantní derivace s nulovou křivostí. Navíc lze nalézt speciální souřadnice, ve kterých je závorka triviální. Tento výsledek pochází z osmdesátých let z prací Dubrovina a Novikova pro jednodimenzionální případ a později byl rozšířen do více dimenzí. V této práci poskytujeme důkaz Dubrovinova-Novikova teorému, který je v původním článku pouze naznačen. Předkládáme také přehled současných výsledků v multidimenzionálním pří- padě, kde se teorie mnohem více komplikuje. Konkrétně, rozebíráme možnost nalezení plochých souřadnic v souvislosti s kompatibilitou závorek. Riemmanovský charakter hamiltonovských rovnic hydrodynamického typu by mohl najít využití při důkazu sy- metrické hyperbolicity, i přestože se rovnice nedají zapsat v konzervativním tvaru. 1
|
host ::
RSS.